Como Calcular Matriz Inversa?

Como Calcular Matriz Inversa

¿Cómo se calcula la inversa de una matriz?

Una matriz es inversa de otra cuando al multiplicar ambas (en cualquier orden) se obtiene la matriz identidad. Si se pueden multiplicar en cualquier orden deben ser matrices cuadradas ( A nxn ·A -1 nxn =A -1 nxn ·A nxn =I nxn ). Se puede observar también que si hacemos la inversa de la inversa se obtiene la matriz original.

  • Otra propiedad interesante es que la inversa del producto coincide con el producto de las inversas pero en orden inverso ( -¹ = B-¹·A-¹ ).
  • Observa que si la matriz A es de dimensión 1×1, su inversa está formada por el inverso del elemento de A.
  • Si la dimensión es superior, existen varias formas de hallar la matriz inversa.

Aquí podemos ver dos formas: Inversa por el método de Gauss. Este método consiste en ( Ver fórmula de la inversa por Gauss ):

  1. Escribir la matriz y adjuntar a su derecha la matriz identidad de la misma dimensión.
  2. Realizar las transformaciones de Gauss de forma sucesiva hasta conseguir que la matriz identidad quede a la izquierda. Caso de que no pueda conseguirse (toda una fila quede de ceros, por ejemplo), es porque la matriz no tiene inversa.
  3. La matriz resultante a la derecha será la inversa de la matriz dada.

Inversa por determinantes. Este método consiste en ( Ver fórmula de la inversa por determinantes ):

  1. Calcular el determinante de la matriz. ( Si el determinante fuese 0, no existe la matriz inversa ).
  2. Calcular la matriz adjunta.
  3. Calcular la matriz traspuesta de la obtenida en el paso anterior. (Este paso y el anterior son intercambiables).
  4. La matriz inversa se obtiene dividiendo cada elemento de la matriz del paso anterior entre el deteminante de la matriz dada (Calculado en el primer paso).

Observa, por tanto, que no todas las matrices tienen inversa :

  • Las matrices que no son cuadradas no tienen inversa.
  • Las matrices cuadradas cuyo determinante es 0 no tienen inversa.
  • Sólo las matrices cuadradas cuyo determinante es distinto de 0 tienen inversa,

A la matriz que tiene inversa se le llama matriz regular, Si no la tiene se llama matriz singular,

¿Cómo se le llama a la matriz que tiene inversa?

El método de la matriz inversa resulta muy útil si tenemos que resolver varios sistemas de ecuaciones lineales que tengan la misma matriz de coeficientes pero distintos términos independientes. Es posible resolver un sistema compatible determinado con más ecuaciones que incógnitas mediante este método.

¿Qué es una matriz traspuesta y cómo se representa?

▷ Matriz traspuesta ¿Qué es?, ¿Cómo se aplica? En matemáticas, la matriz traspuesta es aquella que surge como resultado de realizar un cambio de columnas por filas y filas por columnas en la matriz original, generándose una nueva matriz (a la que llamamos traspuesta).

  1. Básicamente, consiste en reescribir una matriz determinada, poniendo las filas donde estaban las columnas y viceversa.
  2. Para indicar la operación con la que se genera una matriz traspuesta, es decir, el cambio de fila-columna o columna-fila, se suele utilizar un superíndice T.
  3. No es un exponente, simplemente indica que la matriz en cuestión es la traspuesta de la matriz original.

El orden de la matriz traspuesta variará en función de la tipología de la matriz original.

¿Cuánto vale una matriz por su inversa?

El producto de una matriz por su inversa es igual al matriz identidad.

¿Qué es la matriz inversa y sus propiedades?

Una matriz inversa es la transformación lineal de una matriz mediante la multiplicación del inverso del determinante de la matriz por la matriz adjunta traspuesta. En otras palabras, una matriz inversa es la multiplicación del inverso del determinante por la matriz adjunta traspuesta.

¿Cómo funciona el método de Gauss Jordan?

Solución – Realice operaciones de fila en la matriz aumentada para intentar conseguir la forma escalonada por filas, A = A = − 1 2 R 2 + R 1 = R 1 → R 1 ↔ R 2 → − 1 2 R 2 + R 1 = R 1 → R 1 ↔ R 2 → La matriz termina con todos los ceros en la última fila: 0 y = 0,0 y = 0,

Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones y el sistema se clasifica como dependiente. Para hallar la solución genérica, vuelva a una de las ecuaciones originales y resuelva para y,y,3 x + 4 y = 12 4 y = 12 −3 x y = 3 – 3 4 x 3 x + 4 y = 12 4 y = 12 −3 x y = 3 – 3 4 x Así que la solución a este sistema es ( x, 3 – 3 4 x ),

( x, 3 – 3 4 x ),

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¿Qué hace la función diag en MATLAB?

Funciones especializadas de las matrices – MATLAB cuenta con muchas funciones que ayudan a crear matrices con determinados valores o con una estructura particular. Por ejemplo, las funciones y crean matrices de todo ceros o todo unos. El primer y segundo argumento de estas funciones son el número de filas y el número de columnas de la matriz, respectivamente.

¿Cómo se calcula el rango de una matriz en MATLAB?

Descripción – ejemplo y = range( X ) devuelve la diferencia entre los valores máximos y mínimos de los datos de muestra de X,

Si X es un vector, range(X) es el rango de los valores de X, Si X es una matriz, range(X) es un vector fila que contiene el rango de cada una de las columnas de X, Si X es un arreglo multidimensional, range opera a lo largo de la primera dimensión no singular de X, tratando los valores como vectores. El tamaño de esta dimensión pasa a ser 1, mientras que los tamaños del resto de dimensiones no varían. Si X es un arreglo vacío en el que la primera dimensión es 0, range(X) devuelve un arreglo vacío con el mismo tamaño que X,

ejemplo y = range( X,’all’) devuelve el rango de todos los elementos de X, ejemplo y = range( X, dim ) devuelve el rango a lo largo de la dimensión operativa dim de X, Por ejemplo, si X es una matriz, range(X,2) es un vector columna que contiene el valor del rango de cada fila.

¿Cuál es la transpuesta de una matriz inversa?

La traspuesta de A la representamos por A T. Es la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto.

¿Cómo se le llama a una matriz de orden de 1 por 4?

Matriz Fila : matriz que está formada por una única fila. F=( ) → Matriz fila de dimensión 1×4 Matriz Columna: matriz está formada por una única columna. Matriz diagonal: matriz cuadrada cuyos elementos que no pertenecen a la diagonal principal son todos nulos.

¿Cómo se calcula el rango?

El rango es la diferencia entre el valor mayor y el valor menor. El rango medio es el promedio del valor mayor y el valor menor.

¿Cuál es el rango de una matriz 3×3?

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS I MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- Dadas las siguientes matrices Efectúe si es posible : a) A + B b) B × A c) ½ B ½ 2.- Dadas las siguientes matrices Efectúe si es posible : a) A × B b) B × A 3.- Calcule el determinante de la matriz 4.- Calcule el determinante de la matriz 5.- Si existe la inversa de A, obténgala 6.- Discuta y resuelva el sistema : 7.- Discuta y resuelva el sistema : 8.- Discuta y resuelva los siguientes sistemas: a) b) SOLUCIONES: 1.- a) No es posible efectuar A+B pues se trata de dos matrices de distinto orden. La matriz A pertenece al conjunto de matrices de 2×3 (dos filas por tres columnas, M 2×3 ), mientras que B pertenece al conjunto de matrices de 3×2. (M 3×2 ).

Para que dos matrices puedan sumarse deben ser del mismo orden, es decir, deben pertenecer al mismo conjunto de matrices. b) B × A Como B Î M 3×2 y A Î M 2×3, es posible efectuar el producto de la matriz de B por A, ya que el número de columnas de la matriz que pre-multiplica, B, coincide con el número de filas de la matriz que post-multiplica, A.

El resultado será una matriz de 3×3. Se multiplican mediante el producto escalar los vectores fila de la matriz B por los vectores columna de la matriz A, colocando el escalar resultante como el elemento de la matriz producto correspondiente a la fila y columna multiplicadas. c) ½ B ½, Como B es una matriz de 3×2 no tiene el mismo número de filas que de columnas, no puede plantearse calcular su determinante. Sólo está definido el determinante de una matriz para el caso de matrices cuadradas (mismo número de filas que de columnas).2.- a) A × B Como A Î M 2×3 y B Î M 3×4, es posible efectuar el producto de la matriz de A por B, ya que el número de columnas de la matriz que pre-multiplica, A, coincide con el número de filas de la matriz que post-multiplica, B. b) B × A no es posible calcularlo, ya que este producto no puede llevarse a cabo al no coincidir el número de columnas de la matriz que pre-multiplica con el número de filas de la matriz que post-multiplica. (B Î M 3×4, y A Î M 2×3 ) 3.- Para resolver el determinante de la matriz A se puede emplear el método del desarrollo de un determinante por los elementos de una línea (o columna).

El determinante de una matriz A es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna por sus correspondientes adjuntos. El adjunto del elemento a ij de una matriz cuadrada sería el determinante A ij = (-1) i+j D ij donde D ij es el determinante de la matriz que resulta al suprimir en A la fila i-ésima y la columna j-ésima.

Se podrían hacer operaciones entre filas o columnas de la matriz para que la fila o columna escogida contuviera el mayor número de ceros posible y, de esta manera, simplificar el número de adjuntos a calcular. Dada la matriz del ejercicio, prescindiendo de hacer esas operaciones entre filas o columnas, y desarrollando el determinante a partir de la primera fila queda : 4.- Para resolver el determinante de la matriz A se puede emplear el método del desarrollo de un determinante por los elementos de una línea (o columna). El determinante de una matriz A es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna por sus correspondientes adjuntos.

El adjunto del elemento a ij de una matriz cuadrada sería el determinante A ij = (-1) i+j D ij donde D ij es el determinante de la matriz que resulta al suprimir en A la fila i-ésima y la columna j-ésima. Esta vez, se operará entre filas o columnas de la matriz para que la fila o columna escogida contenga el mayor número de ceros posible, y de esta manera se reducirá el número de adjuntos a calcular.

Dada la matriz del ejercicio, a la segunda columna se le va a restar la primera multiplicada por dos y a la cuarta columna se le va a restar la primera multiplicada por tres. La matriz resultante tiene el mismo determinante que la matriz original, pero con la ventaja de que el determinante de orden 4 se va a reducir a resolver un determinante en lugar de 4 de orden 3. 5.- Para saber si la matriz A admite inversa se calcula el determinante de A, pues en el caso de valer 0, la matriz A no admitirá inversa. Como es distinto de 0, para obtener la matriz inversa de la matriz A se puede emplear el método siguiente : donde A -1 es la matriz inversa de A; ½ A ½ es el determinante de la matriz A; A t es la matriz traspuesta de A, y adj(A t ) es la matriz adjunta de la traspuesta de A. La traspuesta de una matriz es una matriz que resulta al intercambiar las filas por las columnas de la matriz original. Así, la matriz traspuesta de A de este ejercicio es : La matriz adjunta de una matriz está formada por los adjuntos de cada elemento de la matriz original. El adjunto del elemento a ij de una matriz cuadrada sería el determinante A ij = (-1) i+j D ij donde D ij es el determinante de la matriz que resulta al suprimir en A la fila i-ésima y la columna j-ésima. La matriz adjunta de la traspuesta de A es : La matriz inversa resultante será : 6.- Discutir un sistema consiste en determinar si tiene o no solución, es decir, si es compatible o incompatible, y en el caso de que tenga solución, determinar si ésta es única (sist. compatible determinado) o si tiene infinitas soluciones (sist. compatible indeterminado).

  • El Teorema de Rouché-Frobenius permite saber si el sistema tiene o no solución y, si la tiene, si es única o existen infinitas soluciones.
  • El Teorema se basa en la comparación de los rangos de la matriz A (matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones), y la matriz A* (matriz de coeficientes del sistema ampliada con el vector columna de términos independientes del mismo).
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Teorema Dado un sistema de ecuaciones lineales: Ax = b se tiene que si:

rg(A) < rg(A*) Þ sistema incompatible rg(A) = rg(A*) = nº incógnitas Þ sistema compatible determinado rg(A) = rg(A*) < nº incógnitas Þ sistema compatible indeterminado ¨

La matriz de coeficientes de este ejercicio es Como es una matriz de 3×4, el rango máximo que puede alcanzar esta matriz es de 3 (3 filas ó 3 columnas linealmente independientes). Tomando las tres primeras columnas (y tres primeras filas), por ejemplo, se construye un ‘menor’ de orden tres que va a ser distinto de cero, lo que indicará que esas tres columnas (o filas) son linealmente independientes (es decir, que el vector nulo de R 3, (0,0,0) se expresa como combinación lineal de esos tres vectores de una única forma: con coeficientes nulos). Por tanto, el rg(A) = 3. La matriz ampliada será: Como A* es una matriz de 3×5, el rango de A* será como mucho 3, y como contiene a la matriz A, el rango será como mínimo el de la matriz A, 3. Por tanto, la matriz ampliada en este ejercicio tiene rg(A*)= 3. Como rg(A)=rg(A*)=3, el sistema es un sistema compatible, pero como el número de incógnitas, n, es 4, (x 1, x 2, x 3, x 4 ), mayor que el rango, el sistema es compatible indeterminado,

  • Se puede resolver aplicando la Regla de Cramer, tras adaptar el sistema para tratarlo como si fuera uno de Cramer.
  • Para esto se pasan (n- rg(A)) variables al segundo término, dándole, a partir de entonces, al segundo término el tratamiento de “término independiente” para aplicar la Regla de Cramer.
  • Como n=4 y rg(A)=3 hay que pasar una variable al segundo término, por ejemplo, x 4,

De esta manera las otras tres variables tomarán valores en función de los que tome x 4, El sistema queda como sigue : La nueva matriz de coeficientes y el nuevo vector de términos independientes a considerar son: Aplicando la Regla de Cramer nos quedarán los valores de x 1, x 2, x 3 en función de x 4, El determinante de la matriz A ya había sido obtenido como menor de la matriz de coeficientes original y valía -8. El conjunto de puntos de R 4 que son solución del sistema de ecuaciones planteado es el siguiente: 7.- Como ya se ha visto en el ejercicio anterior, discutir un sistema consiste en determinar si tiene o no solución, es decir, si es compatible o incompatible, y en el caso de que tenga solución, determinar si ésta es única (sist. compatible determinado) o si tiene infinitas soluciones (sist.

  • Compatible indeterminado).
  • El Teorema de Rouché-Frobenius permite saber si el sistema tiene o no solución, y si la tiene si es única o existen infinitas soluciones.
  • El Teorema se basa en la comparación de los rangos de la matriz A (matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones), y la matriz A* (matriz de coeficientes del sistema ampliada con el vector columna de términos independientes del mismo).
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La matriz de coeficientes de este ejercicio es Como es una matriz de 3×4, el rango máximo que puede alcanzar esta matriz es de 3 (3 filas ó 3 columnas linealmente independientes). Tomando las tres primeras columnas (y tres primeras filas), por ejemplo, se construye un ‘menor’ de orden tres que va a ser distinto de cero, lo que indicará que esas tres columnas (o filas) son linealmente independientes. Por tanto, el rg(A) = 3. La matriz ampliada es: Como A* es una matriz de 3×5, el rango de A* será como mucho 3, y como contiene a la matriz A, el rango será como mínimo el de la matriz A, 3. Por tanto, la matriz ampliada en este ejercicio tiene rg(A*)= 3. Como rg(A)=rg(A*)=3, el sistema es un sistema compatible, pero como el número de incógnitas, n, es 4, (x 1, x 2, x 3, x 4 ), mayor que el rango, el sistema es compatible indeterminado,

  1. Se puede resolver aplicando la Regla de Cramer, tras adaptar el sistema para tratarlo como si fuera uno de Cramer como en el problema anterior.
  2. Como n=4 y rg(A)=3 hay que pasar una variable al segundo término, por ejemplo, x 4,
  3. De esta manera las otras tres variables tomarán valores en función de los que tome x 4,

El sistema queda como sigue : La nueva matriz de coeficientes y el nuevo vector de términos independientes a considerar son : Aplicando la Regla de Cramer nos quedarán los valores de x 1, x 2, x 3 en función de x 4, El determinante de la matriz A ya había sido obtenido como menor de la matriz de coeficientes original y valía -11. El conjunto de puntos de R 4 que son solución del sistema de ecuaciones planteado es el siguiente: 8.- a) La matriz de coeficientes de este ejercicio es Como es una matriz de 3×3, el rango máximo que puede alcanzar esta matriz es de 3 (3 filas ó 3 columnas linealmente independientes). Calculando el determinante de la matriz se tiene que es distinto de cero, en concreto es igual a -10, lo que indica que esas tres columnas (o filas) son linealmente independientes. Por tanto, el rg(A) = 3. La matriz ampliada es Como máximo su rango será 3 al ser una matriz de 3×4, y como contiene a la matriz A, el rango será como mínimo el de la matriz A, 3. Por tanto, la matriz ampliada en este ejercicio tiene rg(A*)=3. Como rg(A)=rg(A*)=3, el sistema es un sistema compatible, y como el número de incógnitas, n, es 3, (x 1, x 2, x 3 ), igual que el rango, el sistema es compatible determinado, b) La matriz de coeficientes de este ejercicio es Como es una matriz de 3×3, el rango máximo que puede alcanzar esta matriz es de 3 (3 filas o 3 columnas linealmente independientes). Calculando el determinante de la matriz se tiene que es nulo, puede verse que la suma de las dos primeras filas del determinante da como resultado la tercera, lo que indica que esas tres columnas (o filas) son linealmente dependientes. Por tanto, el rg(A) < 3. En concreto el rg(A) = 2, tomando el menor formado con las dos primeras filas y dos primeras columnas, el determinante es 5. La matriz ampliada Como máximo su rango será 3 al ser una matriz de 3x4, y como contiene a la matriz A, el rango será como mínimo el de la matriz A, 2. Formando un determinante de orden 3 con las dos primeras columnas y la cuarta, se tiene que es distinto de cero, por tanto, la matriz ampliada en este ejercicio tiene rg(A*)= 3. Como rg(A)=2 < rg(A*)=3, el sistema es un sistema incompatible, por lo que no tiene solución. ültima actualización 19-10-1999

¿Cómo se calcula la matriz identidad?

Matriz identidad La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales. La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A, A· I = I ·A = A.