Tabela Com Numeros Primos De 1 A 100?

Tabela Com Numeros Primos De 1 A 100

Quais são os números primos de 1 a 100?

Listando os primos existentes de 0 a 100, temos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Mas, como classificamos números com vários algarismos? Para isso, precisamos verificar se estes possuem mais que 2 divisores.

Como saber se um número é primo ou não?

Um número natural é primo se ele possui apenas dois divisores positivos e distintos. Ou seja, um número natural é primo se ele é maior que 1 e é divisível apenas por si próprio e por 1. Um exemplo: o número 2. Ele só é divisível por ele mesmo, e por 1. O mesmo vale para 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.

Como se pôde observar, com exceção do 2, todos os demais números primos são ímpares. Observe também que essa definição exclui o 1 como primo. O matemático grego Euclides provou que os números primos eram infinitos. Problemas envolvendo números primos mantiveram ocupados quase todos os matemáticos desde a antiguidade: como saber se um número é primo ou não, ou prever a sua existência em um conjunto de números, ou ainda encontrar uma fórmula para defini-los? Muitas dessas questões continuam sem resposta, mas Eratóstenes criou um método para descobrir os primos em uma sequência de números naturais de 1 até n.

Eratóstenes viveu em Alexandria algumas décadas depois de Euclides. Foi diretor da famosa Biblioteca de Alexandria e do Museu, enquanto acumulava uma série de outras atividades. Algoritmo para definir números primos O algoritmo se baseia numa “peneira”: ele vai testando se um número é primo e, se for, elimina todos os seus múltiplos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

O menor número primo é o 2, mas qualquer outro que seja divisível por 2 não é primo, certo? Então, mantém-se o 2 e excluem-se todos os seus múltiplos,

2 3 5 7 9
11 13 15 17 19
21 23 25 27 29
31 33 35 37 39
41 43 45 47 49

o que elimina metade da lista! O próximo número primo é 3. Deve-se mantê-lo e excluir os múltiplos de 3, uma vez que um número múltiplo de 3 não pode ser primo:

2 3 5 7
11 13 17 19
23 25 29
31 35 37
41 43 47 49

E o 4? Quando se eliminam os múltiplos de 2, também se eliminaram os múltiplos de 4, 6, 8, e todos os números pares! É por esse motivo que o crivo é tão eficiente: ao excluir os múltiplos de um número primo, não há necessidade de verificar aqueles múltiplos.

2 3 5 7
11 13 17 19
23 29
31 37
41 43 47

Todos os números que sobraram na lista são primos! Múltiplos de 11 Você poderia se perguntar se o correto não seria continuar com a checagem até chegar ao fim da lista. Uma análise mostra que esse trabalho não é necessário. Veja que os próximos na verificação e exclusão da sequência seriam os múltiplos de 11, mas todos já foram excluídos previamente porque eram múltiplos de outro primo menor! Observe o aspecto das últimas exclusões: 21 = 7×3 – 27 = 3 2 x3 – 25 = 5×5 – 35 = 7×5 – 49 = 7×7 Qualquer outro número não-primo nessa sequência deve ser da forma 11k, em que k é primo menor que 11, mas esses já foram excluídos! Então, os que sobraram são mesmo primos.

Na verdade, basta calcular os números primos anteriores à raiz quadrada de n (você sabe dizer por quê?). Divisão por tentativa Para determinar se um certo número inteiro pequeno é primo, a divisão por tentativa funciona bem. Basta dividi-lo por todos os primos menores ou iguais à sua raiz quadrada. Se você estiver procurando por um primo gigantesco, com mais de 10.000 dígitos decimais, nunca poderia dividi-lo por todos os primos menores que a sua raiz quadrada.

Ainda assim, mesmo nesses casos a divisão por tentativa é utilizada, somente para fazer um rastreamento inicial. Fazem-se divisões por alguns milhões de primos pequenos e depois aplica-se um teste de primalidade. No caso de n ter 25 dígitos ou mais, a divisão por tentativa usando primos menores que sua raiz quadrada é impraticável.

Se n tiver 200 dígitos, então a divisão por tentativa é impossível. A mais importante utilização atual dos números primos é o reforço nos sistemas de segurança em criptografia, entre outras aplicações. Pode-se dizer que um sistema criptografado é tão mais seguro quanto maiores forem os primos utilizados na sua estrutura.

A questão então passa por determinar se um número é primo ou não. Mas por que o nome “primo”? A palavra primo refere-se a ideia de primeiro, e sua origem está na concepção numérica da escola pitagórica, no século 5 a.C. Nessa época, os matemáticos gregos dividiam os números inteiros naturais em três classes: a monad (unidade, 1); os protói arithmói (números primos) ou asynthetói aritmói (números não compostos): aqueles que não podem ser gerados pelo produto de outros números além da unidade.2, 3, 5, 7, 11, etc.; os deuterói arithmói (números compostos): aqueles que podem ser gerados pelo produto de outros números.4 (=2×2), 6 (=2×3), 8, 10, 12, 14, etc.

Quais são os números primos de 1 a 101?

Listamos a seguir a os 199 primeiros números primos: 3, 5, 7, 32, 11, 13, 15, 17, 19, 21 23, 52, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 72, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99.

Qual a soma de todos os números primos de 1 a 100?

Pois a soma dos 100 primeiros números primos é 24133. Este código é suficiente para calcular a soma de quaisquer n primeiros números primos.

Qual é o único número natural que é primo?

Os números naturais são divididos de muitas maneiras em outros subconjuntos numéricos, Os mais comuns são: números pares, números ímpares, números primos e números compostos. Os números compostos são aqueles que resultam da multiplicação de números primos.

Para discutir com maior profundidade o que é um número composto, é preciso conhecer bem o conjunto dos números primos. Números primos Para ser considerado primo, um número deve ser divisível apenas por si mesmo ou por 1. Dessa maneira, os números primos constituem um subconjunto infinito de números naturais cujos primeiros elementos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, Observe que o único número par que é primo é o 2.

Isso acontece porque qualquer outro número par é divisível por 2 e, por isso, não é primo. Observe também que o número 1, embora seja divisível apenas por si mesmo e por 1, não é um número primo. Isso acontece por causa do teorema fundamental da aritmética, exposto a seguir.

  • Teorema fundamental da aritmética Esse teorema é a regra matemática que garante que todo número pode ser escrito como um produto de números primos.
  • Observe: ” Todo número natural maior que 1 ou é primo ou pode ser escrito como produto de números primos.
  • Não pare agora.
  • Tem mais depois da publicidade 😉 Números compostos Os números compostos são exatamente aqueles que podem ser escritos como produtos de números primos.

São exemplos de números compostos: 4 = 2·2 = 2 2 6 = 2·3 8 = 2·2·2 = 2 3 9 = 3·3 = 3 2 Observe que os fatores são números primos. Quando não forem, poderão ser decompostos novamente, originando fatores primos. Observe: 40 = 2·20 = 2·2·10 = 2·2·2·5 = 2 3 ·5 O procedimento realizado para transformar 40 em 2 3 ·5 é chamado de decomposição em fatores primos,

Método prático para decomposição A decomposição em fatores primos pode seguir a receita do método utilizado para o cálculo do MMC, porém, para um número só. Ao final, no lugar de multiplicar os resultados, agrupe os fatores primos iguais. Observe o exemplo da decomposição do número 15360: 15360| 2 7680| 2 3840| 2 1920| 2 960| 2 480| 2 240| 2 120| 2 60| 2 30| 2 15| 3 5| 5 1| 2 10 ·3·5 Para aquele que não consegue identificar se o 15360 é divisível por 2 ou por 3, basta checar os critérios de divisibilidade,

Por Luiz Paulo Moreira Graduado em Matemática

Como calcular números primos?

Como saber se um número é primo? – A busca por números primos é bastante comum na Matemática. Quando dividimos um número por outro e o resultado é exato, ou seja, não deixa resto, esse número é chamado de divisor. Para identificar se um número é primo ou não, precisamos conhecer quais são os divisores desse número.

Exemplo

O número 12 não é primo, pois os números que dividem o 12 são: D(12) = 1,2,3,4,6 e 12 Já o número 17 é primo, pois os divisores de 17 são: D(17) = 1, 17.

Como fazer a conta de números primos?

Como reconhecer os números primos – Brasil Escola Os números primos fazem parte do sistema de numeração cardinal, que é composto pelos números naturais 0, 1, 2, 3, 4. A descoberta dos números primos ocorreu em Alexandria, por volta de 360 a.C a 295 a.C, pelo estudioso Euclides.

Foi ele quem descobriu que existe uma quantidade infinita de números primos e que qualquer número composto pode ser decomposto em fatores primos. Lembre-se que número composto é todo número natural maior que um e que possui como divisor mais de dois números naturais. São números compostos: 4, 6.8, 9, 10, 12.

A forma mais conhecida para identificar números primos é o, que é um algoritmo prático utilizado em intervalos numéricos. Eratóstenes era da Grécia e viveu no período de 276 a.C a 194 a.C, foi um grande matemático e ficou conhecido por ter calculado a circunferência da Terra.

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São considerados números primos os termos numéricos maiores que 1, divisíveis por 1 e por ele mesmo. O número 1 não é primo, sendo assim, os números primos são: 2, 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, Mas, como reconhecer os números primos? Para identificar um número primo devemos dividi-lo sucessivamente por números primos como: 2, 3, 5.

e verificar se a divisão é exata (em que o resto é zero) ou não exata (onde o resto é diferente de zero).

  • Se o resto da divisão for zero o número não é primo,
  • Se nenhum resto for zero, o número é primo,

Para dividir um número de forma mais rápida podemos utilizar os, mas somente quando os divisores forem números primos, como 2, 3, 5 e 11. Recorde-se que:

  • Um número é divisível por 2 quando terminado em termos pares, ou seja, 0, 2, 4, 6.,
  • Um número será divisível por três quando a soma dos seus algarismos for divisível por 3.
  • Um número será divisível por 5 quando o seu último algarismo for 5 ou 0.

Um número será divisível por 11 quando a diferença da soma dos algarismos de ordem par com a soma dos algarismos de ordem ímpar obtiver como resultado um número divisível por 11. Ao falarmos de resto, devemos sempre nos lembrar do algoritmo da divisão, que é dado por: Não pare agora. Tem mais depois da publicidade 😉

  • Veja o exemplo a seguir:
  • Descubra se o número 521 é primo.

Para descobrirmos se o número 521 é primo devemos verificar quais os divisores de 521. Podemos fazer isso utilizando os critérios de divisibilidade, ou seja, dividindo 521 pelos números primos: 2, 3, 5. Iremos parar de dividir 521 por números primos quando o valor do quociente for menor que o do divisor. Caso nenhum resto das divisões seja igual a zero, o número será considerado primo.

  • De acordo com o critério de divisibilidade, o 521 não é divisível por dois, porque não é um número par.
  • 521 não é divisível por 3, porque a soma dos algarismos que o compõe não é divisível por 3. Veja 5 + 1 +1 = 7
  • O número 521 também não é divisível por 5, porque o último algarismo do número 521 não é 5.
  • 521 não é divisível por 7, já que sete é uma divisão não exata e seu resto é 3.

O número 11 também não é divisor de 521, porque o seu resto é 4. Observe que o quociente é maior que o divisor, sendo assim, devemos dividir 521 pelo próximo número primo, que é 13.

521 não é divisível por 13, porque a sua divisão não é exata.

17 não é divisor de 521, pois o resto da divisão é 11. Com isso teremos que dividir pelo próximo número primo, que é 19.

521 não é divisível por 19, porque o resto dessa divisão é 8.

23 não é divisor de 521, o resto da divisão é 15. Como o quociente (22) é menor que o divisor (23), devemos parar de dividir o número 521.

  1. Concluímos que 521 é um número primo, sendo assim, é divisível somente por 1 e por ele mesmo (521).
  2. Por Naysa Oliveira
  3. Graduada em Matemática

: Como reconhecer os números primos – Brasil Escola

Qual é o maior número primo do mundo?

Voltando agora à questão inicial, o maior número primo conhecido é 232.582.657-1, que tem 9.808.358 dígitos e foi descoberto em 4/9/2006 pelos Drs. Curtis Cooper, Steven Boone e a sua equipa. Este número primo tem 650.000 dígitos a mais do que o maior primo encontrado por eles mesmos em Dezembro de 2005.

Qual é o número primo de 70?

Listamos a seguir a os 199 primeiros números primos: 3, 5, 7, 32, 11, 13, 15, 17, 19, 21 23, 52, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 72, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99.

Porque 91 não é um número primo?

Se encontrar o resto igual a zero, o número não é primo e se encontrar somente restos diferentes de zero, o número será primo. Neste caso, precisa-se fazer as divisões até obter um quociente menor ou igual ao divisor.0 13, portanto 91 não é primo, é um número composto.

Quais são os todos os números primos?

O que é número primo? Um número é classificado como primo se ele é maior do que um e é divisível apenas por um e por ele mesmo. Apenas números naturais são classificados como primos. Antes de saber mais sobre o número primo, é importante relembrar algumas regras de divisibilidade, que ajudam na identificação de quais números não são primos.

  • Divisibilidade por 3 : um número é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos der um número divisível por 3.
  • Divisibilidade por 4 : um número é divisível por 4 se ele for divisível duas vezes por 2 ou, então, se seus dois últimos algarismos forem divisíveis por 4.
  • Divisibilidade por 5 : todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por cinco.
  • Divisibilidade por 6: se um número for par e também divisível por 3, será divisível por 6.
  • Divisibilidade por 7: um número é divisível por 7 se a diferença entre o dobro do último algarismo e o restante do número resultar em um número múltiplo de 7.

Essas são as principais regras de divisibilidade. Para encontrar cada número primo menor do que 100, utilizamos o ” Crivo de Eratóstenes “. Na tabela a seguir, iremos cancelar os números que não são primos seguindo esta ordem:

  • O número 1 estará fora, pois, pela condição inicial, os números primos são maiores que um (será destacado de preto ); Não pare agora. Tem mais depois da publicidade 😉
  • Os números terminados em 0, 2, 4, 6 e 8 estarão fora porque são divisíveis por dois (serão destacados vermelho );
  • Os números terminados em 5 estarão fora porque são divisíveis por 5 (serão destacados de azul ). Os números terminados em zero já foram cortados;
  • Os números cuja soma dos algarismos for 3 estarão fora por serem divisíveis por três (serão destacados de laranja );
  • Os números que são divisíveis por 7 serão retirados também (serão destacados de verde )

Os números destacados em amarelo são aqueles que só são divisíveis por 1 e por eles mesmos, isto é, não obedecem a nenhum dos critérios de divisibilidade que comentamos acima. Portanto, pelo “Crivo de Eratóstenes”, os números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97 são os únicos números primos menores que 100.

  1. Por Amanda Gonçalves
  2. Graduada em Matemática

: O que é número primo?

Porque o número 223 é primo?

Olá pessoal, tudo bem com vocês? Estamos aqui novamente, para abordar mais um assunto muito importante para a matemática básica : os números primos e compostos ! A verdade, é que qualquer número natural diferente de zero e um pode ser definido como número primo ou como número composto, e cabe a nós descobrir como isso se dá através de um método bem interessante, que utiliza os famosos critérios de divisibilidade que já estudamos por aqui,

Vocês não querem se deparar lá nas provas do ENEM e dos vestibulares com uma questão que envolve números primos ou compostos sem ter o devido conhecimento sobre eles, não é mesmo? Então não dá para perder o texto de hoje! Mas se além da matemática básica, alguns tópicos de toda a matemática do ensino médio também forem um problema pra vocês, então não dá para perder a oportunidade de assinar a plataforma do Professor Ferretto ! O curso de matemática do Professor Ferretto é um curso online que tem foco na melhor preparação para o ENEM e os tradicionais vestibulares do país.

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A divisão de zero por zero é considerada uma indeterminação matemática, e portanto, não é válida para o caso; A divisão de um por um, representa a mesma operação que a divisão de um por ele mesmo.

Isso mostra que tanto zero quanto 1 não tem dois divisores naturais distintos ou diferentes, mas somente um, que é o próprio 1. Entendido, pessoal? Depois de estudarmos todas essas definições, finalmente é chegada a hora em que vamos descobrir como determinar, na prática, se um número natural é primo ou composto, Realizar divisões sucessivas por números primos, significa basicamente dividir o número desejado por 2, 3, 5, 7, 11, 13 e pelos demais números primos seguintes, até que se obtenha uma divisão na qual o resto é diferente de zero, e o divisor (d) é maior ou igual ao quociente ( q ).

Quando isso acontecer, haverá a certeza de que tal número é mesmo primo, No entanto, se porventura, pelo caminho, alguma dessas divisões por números primos gerar um resto igual a zero, significa que tal número possui pelo menos outro divisor além de 1 e dele mesmo, o que fará dele um número composto,

Entenderam a ideia? Tenho certeza de que com um exemplo tudo ficará mais fácil. Vamos começar resolvendo um exercício da maneira mais simples e didática possível, para na sequência, utilizar alguns conceitos que podem facilitar e agilizar ainda mais o processo. Vejam que nessa divisão, obtivemos um resto diferente de zero, e um quociente maior do que o divisor da operação (71 > 2). Isso significa que 143 ainda é um candidato a ser número primo, mas como não temos certeza, iremos a próxima divisão! Novamente, temos um resto diferente de zero e um quociente maior que o divisor (47 > 3). Ainda há possibilidade de 143 ser um número primo, mas para confirmar, devemos continuar até que o divisor seja maior ou igual ao quociente, Olhem só! Nesta nova divisão, ainda temos um resto diferente de zero, no entanto, o quociente permanece maior que o divisor (28 > 5). Só nos resta continuar Mas que coisa! Ainda temos um resto diferente de zero e um quociente maior que o divisor (20 > 7). Vamos a uma nova divisão pelo número primo da sequência, o 11. Pois é, parece que acabamos de descobrir que 143 é um número composto, afinal, ele é divisível por 1, por ele mesmo, e pelo menos por 11 também. Pessoal, infelizmente não há como fugir desses cálculos quando o intuito é estabelecer se um número é primo ou não. De prático, esse método realmente não tem nada, mas para a alegria de vocês existe sim um jeito de dar uma acelerada no processo, quando se conhece os critérios de divisibilidade,

Os critérios de divisibilidade são pequenas regras que utilizamos para determinar se um número inteiro qualquer é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e daí por diante. Se nós utilizarmos essas regras, poderemos definir sem realizar cálculo algum quando o resto de uma divisão por 2, 3, 5, 7, 11, será diferente de zero ou não.

Querem ver como funciona? Então vamos a mais um exemplo! 223 é primo? Bom, o primeiro passo para estabelecermos se 223 é um número primo, seria dividir esse número por 2, Mas, segundo os critérios de divisibilidade, apenas os números pares são divisíveis por 2,

Assim, sendo 223 um número ímpar, é fato que a divisão de 223 por 2 gerará um resto diferente de zero, Isso significa que 223 ainda é um candidato a ser primo, e que podemos pular para o próximo passo! Então, seria chegada a hora de dividir 223 por 3. Contudo, é verdade que um número é divisível por 3, quando a soma de seus algarismos resulta em um número divisível por 3,

Vamos ver se isso acontece por aqui! 2 + 2 + 3 = 7 Sete não é, nem de longe, um número divisível por 3. Por isso, a divisão de 223 por 3 certamente gerará um resto diferente de zero, o que faz com que ele ainda seja um candidato a ser primo! Aí, faríamos a divisão de 223 por 5.

Mas é fato que um número é divisível por 5, quando seu último algarismo é zero ou 5, Como 223 termina com o número 3, ele jamais poderá ser dividido por 5 sem gerar um resto diferente de zero, Desta forma, 223 ainda é um possível número primo. Agora, seguiríamos para a divisão por 7. Mas nesse caso é o que realmente vamos fazer.

Quem leu o texto Critérios de Divisibilidade, sabe que utilizar o critério de divisibilidade por 7, é quase mais demorado do que realizar a própria divisão em si. Vejam que essa divisão gerou um resto diferente de zero e um quociente maior que o divisor (31 > 7).223 ainda pode ser um número primo, e o jeito é continuar calculando! E lá viria a divisão de 223 por 11. Mas felizmente, um número é divisível por 11, se a soma alternada de seus algarismos resultar em um número divisível por 11, Então vamos ver se isso funciona por aqui! +2 – 2 + 3 = 3 Três não é um número divisível por 11. Isso nos mostra que a divisão de 223 por 11 certamente geraria um resto diferente de zero, Como o próximo número primo positivo da sequência é o 13, vamos realizar uma nova divisão. Não parece, mas estamos perto do fim, acreditem! Observem que a divisão de 223 por 13 também gerou um resto diferente de zero, mas o quociente permanece maior do que o divisor (17 > 13). Felizmente, essa realidade irá mudar no próximo passo, pois o divisor está se aproximando cada vez mais do quociente, Fiquem atentos ao que irá acontecer! Eba! A divisão de 223 por 17 gerou um resto diferente de zero e um divisor maior que o quociente ! Já não era sem tempo! Acabamos de determinar, com toda a certeza, que 223 é um número primo! Fácil, não é pessoal? Só é um pouquinho demorado. Mas tenho certeza que a medida em que vocês forem resolvendo uma série de exemplos, e memorizando direitinho os principais critérios de divisibilidade, tudo ficará mais rápido e claro! Já vou avisando que o vídeo que está em anexo está imperdível hoje! Nele vocês encontram uma abordagem complementar a tudo que estudamos por aqui, e ainda, a resolução de um exercício que envolve números primos juntamente a alguns conceitos fascinantes da aritmética ! Espero que vocês tenham gostado do texto, e que continuem acompanhando todos os conteúdos disponibilizados aqui no blog ! Um abração! Bons estudos a todos!

Por que o número 11 é primo?

Veja que o número 11 possui somente o número 1 e a si próprio como divisores, logo, o número 11 é um número primo.

Qual é o número primo de 4?

Listamos a seguir a os 199 primeiros números primos: 3, 5, 7, 32, 11, 13, 15, 17, 19, 21 23, 52, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 72, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99.

Porque o número 101 e primo?

Como 101 não é divisível por 2, 3, 5 e 7 então pela proposição 3, 101 não pode ser composto. Logo 101 é primo.

Quanto e 1 2 3 até 100?

A soma 1+2+3+ \cdots+t Se t é um número natural maior do que 1, qual o valor da soma 1+2+3+ \cdots+t? Para aqueles que sabem o que é uma Progressão Aritmética – PA, basta observar que a fórmula da soma dos n primeiros termos da PA (a_1, \, a_2, \, a_3, \, \ldots \,, \, a_n, \, \ldots) é dada por \qquad \qquad S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n=\dfrac,

Como (1, \, 2, \, 3, \, 4, \, \ldots \,, \, t, \, t+1, \, \ldots) é uma PA, de razão 1, segue que a soma dos t primeiros termos é dada por: \qquad \qquad \boxed }. Assim, particularmente: ✓ 1+2+3+ \cdots+10=\dfrac =\dfrac =11\cdot 5=55; ✓ 1+2+3+ \cdots+100=\dfrac =\dfrac =101\cdot 50=5050; ✓ 1+2+3+ \cdots+1000=\dfrac =\dfrac =1001\cdot 500=500500; ✓ 1+2+3+ \cdots+5000=\dfrac =\dfrac =5001\cdot 2500=12502500.

Que fórmula fantástica, não é? Com ela obtemos com a mesma facilidade uma soma com dez, com mil ou com cinco mil parcelas! Mas, embora útil, alguém que não saiba o que é uma PA poderá ficar na dúvida se essa fórmula funciona sempre. Assim, vamos mostrar como obtê-la por dois caminhos diferentes e sem utilizar progressões aritméticas. Assim, 2S_t=t\cdot (t+1) e podemos concluir que: \qquad \qquad \boxed }. Para você entender direitinho o que aconteceu com as parcelas centrais de S_t, quando somamos as duas igualdades, vamos refazer a soma considerando dois casos: t par e t ímpar. ✓ Para t par, observe que: Com isso, 2S_t=t\cdot(t+1) e podemos assim concluir que S_t=\dfrac, ✓ Para t ímpar, observe que: Aqui também, 2S_t=t\cdot(t+1) e S_t=\dfrac, Método II Seja t um número natural maior do que 1. ✓ Suponha que t seja par; assim podemos agrupar os t números 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, \ldots \,, \, t de dois em dois, conforme mostra a figura abaixo, e somá-los. \quad\begin &1+2+3 \cdots+t= }+ }+ }+ }+ \cdots+ }+ }+ }+ }=\\ &=\underbrace }+ }+ }+ }+ \cdots+\left}_ \, parcelas}\\ &=\underbrace _ \, parcelas}\\ &=\dfrac \cdot (1+t)\\ &=\dfrac, \end ✓ Se t for ímpar, podemos agrupar os t números 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, \ldots \,, \, t conforme mostra a figura abaixo, e somá-los. \quad\begin &1+2+3 \cdots+t= }+ }+ }+ \cdots+ }+ }+ }=\\ &=\underbrace }+ }+ }+ \cdots+ +\dfrac \right]}}}_ \, parcelas}+\dfrac \\ &=\underbrace _ \, parcelas}+\dfrac \\ &=\dfrac \cdot (1+t)+\dfrac \\ &=\dfrac, \end ✓ Se t for ímpar, podemos também agrupar de dois em dois, bastando para isso observar que \qquad \qquad 1+2+3+4+\cdots +t=0+1+2+3+4+\cdots +t. \quad\begin &1+2+3 \cdots+t= 0+1+2+3 \cdots+t=\\ &= }+ }+ }+ }+ \cdots+ }+ }+ }+ }\\ &=\underbrace }+ }+ }+ }+ \cdots+\left}_ \, parcelas}\\ &=\underbrace _ \, parcelas}\\ &=\dfrac \cdot t\\ &=\dfrac, \end Um pouco de história De acordo com um episódio bem pitoresco da História da Matemática, na Alemanha, um garoto de menos de dez anos chamado Gauss surpreendeu seu professor de Matemática ao apresentar rapidamente a resposta ao problema de somar todos os números naturais de 1 a 100. Extraído da Revista Galileu O cálculo feito pelo menino Gauss foi: \boxed \times 101 = 50\times 101=5050.} Podemos observar que a peripécia do pequeno Gauss é o caso particular de t=100 da nossa primeira lousinha, conforme ilustra o esqueminha abaixo. Para a história não ficar sem fim, o menino autor da façanha se tornou um dos mais importantes matemáticos de todos os tempos: Johann Carl Friedrich Gauss, conhecido como o Príncipe da Matemática ! Bem, dizem que uma boa conversa sobre Matemática não pode terminar sem bons problemas Assim, aí vão alguns.

Divirta-se! Alguns dos problemas abaixo podem ser resolvidos sem utilizarmos uma soma do tipo 1+2+3+ \cdots + t, Mas a ideia aqui é primeiro identificar em cada problema uma soma 1+2+3+ \cdots + t, para algum t natural, e utilizar a igualdade 1+2+3+ \cdots + t =\dfrac para resolvê-lo. Vamos lá? Problema 1: Determine a soma 3+6+9+12+15+\cdots +3000 dos múltiplos de 3 menores do que 3001.

Problema 2: Determine a seguinte soma, cujas parcelas são números consecutivos: 37+38+39+\cdots + 1405. Problema 3: Qual a soma dos 200 primeiros números pares positivos? Problema 4: (UESPI 2012) No quadro a seguir, são iguais as somas dos elementos de cada uma das linhas, de cada uma das colunas e das diagonais.

  1. Além disso, os números que aparecem nos quadrados são os naturais de 1 até 16.
  2. Begin \hline 7&12&A&14\\ \hline 2&B&8&11\\ \hline 16&3&10&D\\ \hline C&6&15&4\\ \hline \end Quanto vale A + B + C + D? Problema 5: (UFBA) Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora baterá, de zero às 12 horas, x vezes.
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Calcule o dobro da terça parte de x. Para obter respostas para esses problemas e ouvir a história completa do Gauss, passe pela Sala de Estudos “A soma 1+2+3+ \cdots+t”, É só clicar AQUI, Sonia Regina Di Giacomo Equipe COM – OBMEP

Qual e o divisor de 12?

Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0. Portanto, 12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12, logo 1, 2, 3, 4, 6, 12 são divisores de 12.

Por que o número 13 é um número primo?

Chamamos de número primo um número natural que possui dois divisores: 1 e ele mesmo. Para encontrar números primos, foi desenvolvido o crivo de Eratóstenes. Quando um número não é primo, podemos escrevê-lo como a multiplicação de números primos, processo esse chamado de fatoração. Leia também: Qual o valor de um algarismo?

Por que o 0 não é um número primo?

Ouça este artigo: Os números primos fascinam matemáticos há mais de 2000 anos. Os números primos são o santo graal da matemática pois, mesmo tendo uma definição tão simples muitos problemas que os envolvem ainda não estão solucionados. Vamos definir o que é um número primo: Os números primos são aqueles em que possuem apenas dois divisores: 1 e o próprio número.

  • Agora, vamos identificar alguns números primos segundo a definição acima a partir do conjunto dos naturais N=,
  • Os números primos menores que 100 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 Os números 0, 1, 4, 6, 8, 10 e 12 não são primos pois possuem mais de um divisor, por exemplo, o 6 pode ser dividido por 1, 2, 3 e o próprio 6.

O 8 é dividido por 1, 2, 4 e 8. O zero não pode ser primo, pois ele pode ser dividido por qualquer outro número que, ainda assim seria zero, o que nos leva uma infinidade de divisores. Já o 1 também não pode ser primo pois ele possui um único divisor, ele mesmo.

  • O número 2 é o menor primo e o único par.
  • A complexidade começa aqui: Como saber se um número é primo ou não? Para números pequenos é fácil responder a esta pergunta, mas quando pensamos na infinidade de números naturais que existem, escolhermos um e ainda identificar se ele é primo ou não, é um desafio e tanto! Infelizmente, não existe uma fórmula que determine se um número é, ou não, primo, mas há diversas ferramentas para nos ajudar nesta tarefa.

O método mais conhecido é o Crivo (ou Algoritmo da Divisão) de Eratóstenes. Este método consiste basicamente em testar se o número é, ou não, divisível por algum número natural menor do que ele próprio. Vamos agora mostrar como o Crivo de Eratóstenes funciona para determinar todos os números primos de 1 a 100:

  1. Escreva todos os números de 1 a 100 numa tabela.
  2. Elimine todos os múltiplos de 2, exceto o próprio 2 que já sabemos que é primo.
  3. Depois, faça isto com os múltiplos de 3, exceto o 3 que também é primo.
  4. O próximo da lista não riscado seria o 5, risque os múltiplos também.

Seguindo este método recursivamente, como vemos na tabela abaixo, os números verdes são os primos, os outros são números que são múltiplos de algum primo:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Por que 1 não é um número primo?

Como vimos, o número 1 é divisível apenas por ele mesmo, ou seja, possui apenas 1 divisor, pois o número 1 é igual a ele mesmo. Em outras palavras, o número 1 não é composto e nem considerado um número primo. Porque é importante estudar os números primos?

Quais são os números primos?

O que é número primo? Um número é classificado como primo se ele é maior do que um e é divisível apenas por um e por ele mesmo. Apenas números naturais são classificados como primos. Antes de saber mais sobre o número primo, é importante relembrar algumas regras de divisibilidade, que ajudam na identificação de quais números não são primos.

  • Divisibilidade por 3 : um número é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos der um número divisível por 3.
  • Divisibilidade por 4 : um número é divisível por 4 se ele for divisível duas vezes por 2 ou, então, se seus dois últimos algarismos forem divisíveis por 4.
  • Divisibilidade por 5 : todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por cinco.
  • Divisibilidade por 6: se um número for par e também divisível por 3, será divisível por 6.
  • Divisibilidade por 7: um número é divisível por 7 se a diferença entre o dobro do último algarismo e o restante do número resultar em um número múltiplo de 7.

Essas são as principais regras de divisibilidade. Para encontrar cada número primo menor do que 100, utilizamos o ” Crivo de Eratóstenes “. Na tabela a seguir, iremos cancelar os números que não são primos seguindo esta ordem:

  • O número 1 estará fora, pois, pela condição inicial, os números primos são maiores que um (será destacado de preto ); Não pare agora. Tem mais depois da publicidade 😉
  • Os números terminados em 0, 2, 4, 6 e 8 estarão fora porque são divisíveis por dois (serão destacados vermelho );
  • Os números terminados em 5 estarão fora porque são divisíveis por 5 (serão destacados de azul ). Os números terminados em zero já foram cortados;
  • Os números cuja soma dos algarismos for 3 estarão fora por serem divisíveis por três (serão destacados de laranja );
  • Os números que são divisíveis por 7 serão retirados também (serão destacados de verde )

Os números destacados em amarelo são aqueles que só são divisíveis por 1 e por eles mesmos, isto é, não obedecem a nenhum dos critérios de divisibilidade que comentamos acima. Portanto, pelo “Crivo de Eratóstenes”, os números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97 são os únicos números primos menores que 100.

  1. Por Amanda Gonçalves
  2. Graduada em Matemática

: O que é número primo?

Qual que são os números primos?

Números primos são números que têm apenas 2 fatores: 1 e ele mesmo. Por exemplo, os 5 primeiros números primos são 2, 3, 5, 7 e 11. Em contrapartida, números com mais de 2 fatores são chamados de números compostos.

O que são números primos de exemplo?

Os números primos representam o conjunto dos números naturais, maiores que 1, que possuem apenas dois divisores (1 e ele próprio). Exemplo: 2, 5, 7, 11, etc.

Por que se les llama números primos?

Números primos são aqueles divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos. Estão presentes na Matemática desde a Antiguidade, e vários métodos foram desenvolvidos a fim de verificar se um número é de fato primo, como o Crivo de Erastóstenes. O estudo dos números primos acabou resultando no Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que todo número inteiro positivo e maior que 1 pode ser representado de maneira única como um produto de fatores primos. Números primos entre 1 e 100.